14.3角的平分线（课时1）初中数学人教版八年级上册

14.3角的平分线（课时1）第十四章全等三角形人教版（2024）素养目标2.探索并证明角的平分线的性质定理，并能运用这个定理解决相关问题.重点1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力；重点新知导入在纸上画一个角（如图），思考：怎样得到它的角平分线？AOB用量角器度量；也可以将角剪下来用折纸的方法．C把∠AOB对折，使得这个角的两边重合；折痕就是∠AOB的角平分线.探究新知角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.CABOMNP如图，OC是∠AOB

的平分线，P

是OC

上的任意一点，M，N

分别是OA，OB上的点，我们研究PM

与PN

的关系.探究新知【思考】研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.图中当OM

与ON

满足什么关系时，PM=

PN？CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN，就有PM=PN.SAS探究新知反过来，如图，M，N

分别是∠AOB

的边OA，OB

上的点，OM=ON，点P

在∠AOB

的内部，PM=PN.连接OP.CABOMNPOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，所以△OPM

≌△OPN，因此∠POM=∠PON.即点P

在∠AOB

的平分线上.SSS探究新知【思考】由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；再在角的内部作出与这两点距离相等的点；以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.ABO探究新知作法：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（3）画射线OC，射线OC即为所求.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.MNC探究新知ABOMN以小于MN的长为半径，两弧无交点；以等于MN的长为半径，不易操作.【思考】为什么以大于MN的长为半径作弧？探究新知下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形.如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P1，P2，P3，···在OC

上，过点P1，P2，P3，···分别画OA

与OB

的垂线，垂足分别为D1

与E1、D2

与E2、D3

与E3······.CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4探究新知CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4分别比较P1D1

与P1E1、P2D2

与P2E2、P3D3

与P3E3······，你有什么发现？P1D1

=

P1E1，P2D2

=

P2E2，P3D3

=

P3E3······猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等探究新知证明已知：一个点在一个角的平分线上.求证：这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.探究新知如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证PD=PE.CABODEP【分析】证明△OPD≌△OPEPD=PE探究新知CABODEP证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

归纳总结角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵OC

是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、EPAOBCDE归纳总结证明一个几何命题时的步骤：已知：一个点在一个角的平分线上求证：这个点到角两边的距离相等；第一步：明确命题中的已知和求证第二步：根据已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已